Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-2|+|x-a|（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，解不等式f（x）≥4．
（2）如果?x∈R，f（x）≥2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=|x-2|+|x+1|，由此利用零點(diǎn)分段討論法能求出不等式f（x）≥4的解集．
（2）|x-2|+|x-a|表示的是在數(shù)軸上到2，a兩點(diǎn)距離，距離最小值就是|a-2|，若f（x）≥2對(duì)x∈R恒成立，則只要滿足|a-2|≥2，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x-2|+|x+1|，
由x-2=0，得x=2；由x+1=0得x=-1．
①當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=x-2+x+1=2x-1≥4，解得x≥

5

2

；
②當(dāng)-1≤x＜2時(shí)，f（x）=2-x+x+1=3＜4，不等式f（x）≥4不成立；
③當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）=2-x-1-x=1-2x≥4，解得x＜-

3

2

．
綜上所述不等式f（x）≥4的解集為{x|x≤-

3

2

或x≥

5

2

}．
（2）|x-2|+|x-a|表示的是在數(shù)軸上到2，a兩點(diǎn)距離，距離最小值就是|a-2|，
若f（x）≥2對(duì)x∈R恒成立，
則只要滿足|a-2|≥2，解得a≤0或a≥4．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是：a≤0或a≥4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的解集的求法，考查帶絕對(duì)值的函數(shù)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意零點(diǎn)分段討論法和絕對(duì)值的含義的合理運(yùn)用．