Question

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=2x（1﹣x）．
（1）在如圖所給直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的草圖，并直接寫出函數(shù)f（x）的零點；
（2）求出函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】解：（1）當(dāng)x≥0時，由f（x）=2x（1﹣x）=0得x=0或x=1，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時，函數(shù)的零點為﹣1，
即函數(shù)f（x）的零點為0，﹣1，1．
（2）若x＜0，則﹣x＞0，
∵x≥0時，f（x）=2x（1﹣x）．
∴當(dāng)﹣x＞0時，f（﹣x）=﹣2x（1+x）．
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（﹣x）=﹣2x（1+x）=﹣f（x），
即f（x）=2x（1+x），x＜0．
即f（x）=．

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)零點的定義進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．