Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

2

+

y2

4

=1的兩焦點(diǎn)，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，且滿足

PF1

•

PF2

=1過點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)，
（1）求點(diǎn)P坐標(biāo)；
（2）求證：直線AB的斜率為定值；
（3）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P（x，y），（x＞0，y＞0），由數(shù)量積坐標(biāo)公式和點(diǎn)在橢圓上，列出方程，解出，即可得到P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)出直線PA，PB的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，即可解得A，B的橫坐標(biāo)，再由直線方程，得到縱坐標(biāo)，再由斜率公式，即可得證；
（3）設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，再由面積公式，運(yùn)用基本不等式，即可得到最大值．

解答： （1）解：F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

2

+

y2

4

=1的兩焦點(diǎn)，
則c=

4-2

=

2

，即有F₁（0，

2

），F(xiàn)₂（0，-

2

），設(shè)P（x，y），（x＞0，y＞0），
則由

PF1

•

PF2

=1，得x²+y²=3，又

x2

2

+

y2

4

=1，解得，x=1，y=

2

．
則有點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，

2

)；
（2）證明：由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，
設(shè)直線PB的斜率為k，則直線PB的方程為y-

2

=k(x-1)，
由于過點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB，則直線PA：y-

2

=-k（x-1）．
由

y- 2 =k(x-1) x2 2 + y2 4 =1

，消去y，得(2+k2)x2+2k(

2

-k)x+(

2

-k)2-4=0，
設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），由韋達(dá)定理，得1+x_B=

-2k( 2 -k)

2+k2

，
即有xB=

k2-2 2 k-2

2+k2

，y_B=

2 2 - 2 k2-4k

2+k2

同理可得xA=

k2+2 2 k-2

2+k2

，y_A=

2 2 - 2 k2+4k

2+k2

，
所以kAB=

yA-yB

xA-xB

=

2

為定值．
（3）解：由（2）可設(shè)直線AB的方程為y=

2

x+m，
聯(lián)立方程，得

y= 2 x+m x2 2 + y2 4 =1

，消去y，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由判別式8m²-16（m²-4）＞0，得m∈(-2

2

，2

2

)，x₁+x₂=-

2

2

m，x₁x₂=

m2-4

4

，
|AB|=

(1+2)((x1+x2)2-4x1x2)

=

3( 1 2 m2-m2+4)

易知點(diǎn)P到直線AB的距離為d=

|m|

3

，
所以S△PAB=

1

2

|AB|•d=

1 8 m 2(8-m2)

≤

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)m=±2時(shí)取等號(hào)，滿足m∈(-2

2

，2

2

)，
所以△PAB面積的最大值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)及運(yùn)用，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)該函數(shù)，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，和弦長公式解題，考查直線的斜率和方程的運(yùn)用，同時(shí)考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．