Question

函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)镽，其圖象是連續(xù)不斷的，若存在非零實(shí)數(shù)k使得f（x+k）+kf（x）=0對(duì)任意x∈R恒成立，稱y=f（x）是一個(gè)“k階伴隨函數(shù)”，k稱函數(shù)y=f（x）的“伴隨值”．下列結(jié)論正確的是

 

①k=-1是任意常數(shù)函數(shù)f（x）=c（c為常數(shù)）的“伴隨值”；
②f（x）=x²是一個(gè)“k階伴隨函數(shù)”；
③“1階伴隨函數(shù)”y=f（x）是周期函數(shù)，且1是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)周期；
④f（x）=sin（πx+

π

3

）是一個(gè)“k階伴隨函數(shù)”；
⑤任意“k（k＞0）階伴隨函數(shù)”y=f（x）一定存在零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①f（x-1）-f（x）=c-c=0，
②f（x+k）+kf（x）=（x+k）²+kx²=0，則（1+k）x²+2kx+k²=0對(duì)任意x∈R恒成立，則

1+k=0 2k=0 k2=0

，無解；
③由f（x+1）+f（x）=0可得f（x）=-f（x+1）=f（x+2）；
④由sin（π+a）=-sina可推出f（x+1）+f（x）=0，
⑤由f（x+k）+kf（x）=0對(duì)任意x∈R恒成立，且k＞0可得f（x+k）=f（x）=0，或f（x+k）•f（x）＜0．

解答： 解：若f（x）=c（c為常數(shù)），k=-1，則f（x-1）-f（x）=c-c=0，故①正確；
若f（x+k）+kf（x）=（x+k）²+kx²=0，
則（1+k）x²+2kx+k²=0對(duì)任意x∈R恒成立，則

1+k=0 2k=0 k2=0

，無解；故②錯(cuò)誤；
由y=f（x）是“1階伴隨函數(shù)”，則f（x+1）+f（x）=0，
則f（x）=-f（x+1）=f（x+2），則2是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)周期，故③錯(cuò)誤；
∵f（x+1）=sin（π（x+1）+

π

3

）=-sin（πx+

π

3

）=-f（x），
∴f（x+1）+f（x）=0，
∴f（x）=sin（πx+

π

3

）是一個(gè)“1階伴隨函數(shù)”；故④正確；
∵f（x+k）+kf（x）=0對(duì)任意x∈R恒成立，且k＞0，
∴f（x+k）=f（x）=0，或f（x+k）•f（x）＜0，
又∵函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)镽，其圖象是連續(xù)不斷的，
∴y=f（x）一定存在零點(diǎn)，故⑤正確；
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的接受能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．