Question

已知實數(shù)x、y滿足，若不等式a（x²+y²）≥（x+y）²恒成立，則實數(shù)a的最小值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   2

Answer 1

C
分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，而k=表示區(qū)域內(nèi)動點P（x，y）與原點連線的斜率，運動點P可得k的取值范圍為[2，4]．不等式a（x²+y²）≥（x+y）²可化為a≥1+，再算出不等式右邊的最大值，即可得到實數(shù)a的最小值．
解答：作出不等式組表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，
其中A（，），B（1，4），C（2，4）
設(shè)k=，表示區(qū)域內(nèi)動點P（x，y）與原點O連線的斜率，
運動點P，可得當P與A重合時，斜率取得最小值為2；
當P與C重合時，斜率取得最大值為4．
因此，k=的取值范圍為[2，4]
∵不等式a（x²+y²）≥（x+y）²恒成立，
∴兩邊都除以x²+y²，得a≥=1+=1+
∵k∈[2，4]，可得∈[，]
∴t=1+的取值范圍為[，]
∵a≥1+對任意k∈[2，4]恒成立，∴a≥（1+）_max=
故選：C
點評：本題給出二元一次不等式組，求使不等式a（x²+y²）≥（x+y）²恒成立的實數(shù)a的取值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、直線的斜率公式和不等式恒成立等知識點，屬于基礎(chǔ)題．