Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項為

4

3

，公比為-

1

3

，其前n項和記為S，又設B_n={

1

2

，

3

4

，

5

8

，…，

2n-1

2n

}（n∈N^*，n≥2），B_n的所有非空子集中的最小元素的和為T，則S+2T≥2014的最小正整數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：求出等比數(shù)列{a_n}的前n項和S，B_n的所有非空子集中的最小元素的和為T，利用S+2T≥2014，即可求出最小正整數(shù)．

解答： 解：∵等比數(shù)列{a_n}的首項為

4

3

，公比為-

1

3

，其前n項和記為S，
∴S=1-(-

1

3

)n，
當n=2時，B_n的所有非空子集為：{

1

2

，

3

4

}，{

1

2

}，{

3

4

}，∴S=

1

2

×2+

3

4

=

7

4

；
當n=3時，∴S=

1

2

×4+

3

4

×1+

5

8

×2=4；
當n≥4時，當最小值為

2n-1

2n

時，每個元素都有或無兩種情況，共有n-1個元素，共有2^n-1-1個非空子集，
S₁=

2n-1

2

；當最小值為

2n-3

2n-1

，不含

2n-1

2n

，含

2n-3

2n-1

，共n-2個元素，有2^n-2-1個非空子集，S2=

2n-3

2

，…
∴T=S₁+S₂+S₃+…+S_n=

2n-1

2

+

2n-3

2

+…+

7

2

+2+

5

4

+

3

4

=

n2-1

2

∵S+2T≥2014，
∴1-(-

1

3

)n+n²-1≥2014
∴n≥45．
故答案為：45．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要熟練掌握集合的子集的概念，注意分類討論思想的靈活運用．