Question

【題目】已知是自然數(shù)1，2，…，的一個排列，且滿足：對任意，均有．

（1）若記為數(shù)在排列中所處位置的序號（如排列中，，，，）．求證：對每一個滿足題意的排列，均有成立．

（2）試求滿足題意的排列的個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）證法一：假設(shè)結(jié)論不成立，則必存在，，使．

不妨設(shè)，，．

首先證明：對任意整數(shù)，有．

若不然，設(shè)中有小于的，設(shè)為使的最小值，

則由的最小性知，．

故由．得．

∴．

又因，故．

∴．矛盾．

故對任意，．

∵是各不相同的自然數(shù)，

∴

∴

另一方面，，

∴．

于是，，即，

∴．

這與前面矛盾．故結(jié)論成立．

證法二：用數(shù)學歸納法證明更強的命題：

對任意，．

、2時，易知命題成立．

設(shè)時，命題也成立．

則時，考慮所有的排列，我們從兩方面求和．

一方面，，

∴．

另一方面，，

∴．

故，且．

因而，，，…，，

即當時，，，．

而后個數(shù)的排列，為滿足要求的連續(xù)個數(shù)的排列，

由歸納假設(shè)知，時，也有．

又易知．這樣的排列僅有一個，即，同樣也有．

故由數(shù)學歸納法知命題成立．

（2）顯然，．假設(shè)，…，均已求出，我們來求．

考慮當時排列的個數(shù)．

由（1）證法二知，此時排列的前個數(shù)是惟一確定的，

而后個連續(xù)自然數(shù)的滿足題意的排列方法數(shù)為．

又對后數(shù)的任一滿足題意的排列，均有，

故．

又，故．

而，

∴．

故滿足題意的排列個數(shù)．