【題目】如圖,在四棱錐中,底面是菱形,側(cè)面底面,,,為線段的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)連接,交于點(diǎn),連接,利用中位線的性質(zhì)可得出,然后利用線面平行的判定定理可證得平面;
(2)取的中點(diǎn),連接、,證明出底面,然后以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值.
(1)連接,交于點(diǎn),連接,
由于底面為菱形,為的中點(diǎn),
在中,為的中點(diǎn),,
又因?yàn)?/span>平面,平面,平面;
(2)取的中點(diǎn),連接、,
由題意可得,,又側(cè)面底面,即底面.
以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示
的坐標(biāo)系,則有,,,,,
,,,,
設(shè)平面的法向量為
,得,令,則,,
則是平面的一個(gè)法向量,
同理設(shè)平面的法向量為,
,得,令,則,,
則是平面的一個(gè)法向量,
設(shè)平面與平面所成銳二面角為,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】階梯水價(jià)的原則是“;、建機(jī)制、促節(jié)約”,其中“;”是指保證至少80%的居民用戶用水價(jià)格不變.為響應(yīng)國家政策,制訂合理的階梯用水價(jià)格,某城市采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法分別從郊區(qū)和城區(qū)抽取5戶和20戶居民的年人均用水量進(jìn)行調(diào)研,得到數(shù)據(jù)如下(單位:噸).
郊區(qū):19 25 28 32 34
城區(qū):18 19 21 22 22 23 23 23 24 25 26 27 28 28 28 29 29 31 35 42
(1)在郊區(qū)的這5戶居民中隨機(jī)抽取2戶,求其年人均用水量都不超過30噸的概率;
(2)設(shè)該城市郊區(qū)和城區(qū)的居民戶數(shù)比為1:5,現(xiàn)將年人均用水量不超過30噸的用戶定義為第一階梯用戶,并保證這一階梯的居民用戶用水價(jià)格保持不變,試根據(jù)樣本總體的思想,分析此方案是否符合國家“;”政策.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】12個(gè)朋友每周聚餐一次,每周他們分成三組,每組4人,不同組坐不同的桌子.若要求這些朋友中任意兩個(gè)人至少有一次同坐一張桌子,則至少需要周____周.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是自然數(shù)1,2,…,的一個(gè)排列,且滿足:對(duì)任意,均有.
(1)若記為數(shù)在排列中所處位置的序號(hào)(如排列中,,,,).求證:對(duì)每一個(gè)滿足題意的排列,均有成立.
(2)試求滿足題意的排列的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),是曲線上的動(dòng)點(diǎn),且是線段的中點(diǎn),點(diǎn)的軌跡為曲線,直線的極坐標(biāo)方程為,直線與曲線交于兩點(diǎn).
(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)寫出過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程,并求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,將四棱錐S-ABCD的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端異色,如果只有5種色可供使用,則不同的染色方法種數(shù)為( )
A.240B.360C.420D.960
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是正整數(shù),且.(1)試求出最大的正整數(shù),使得存在各邊長都是不大于的正整數(shù),且任意兩邊之差(大減。┒疾恍∮趉的三角形;(2)試求出所有的正整數(shù),使得(1)中所述的對(duì)應(yīng)于最大的正整數(shù)的三角形有且只有一個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)定義域?yàn)?/span>,部分對(duì)應(yīng)值如表,的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示. 下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的有( )
A.函數(shù)的極大值點(diǎn)有個(gè)
B.函數(shù)在上是減函數(shù)
C.若時(shí),的最大值是,則的最大值為4
D.當(dāng)時(shí),函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,若橢圓經(jīng)過點(diǎn),且的面積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)斜率為的直線與以原點(diǎn)為圓心,半徑為的圓交于,兩點(diǎn),與橢圓交于,兩點(diǎn),且,當(dāng)取得最小值時(shí),求直線的方程.
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