Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d不等于0
（1）若數(shù)列{a_n}中的不同三項a_r，a_s，a_t為等比數(shù)列，且r，s，t也為等比數(shù)列，證明：a₁=d；
（2）若（a₁）²+（a₁₁）²=10，求a₁₁+…+a₂₁的最大值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，化簡整理，得到2s（a₁-d）=t（a₁-d）+r（a₁-d），注意運用公差d不等于0，即可得證；
（2）運用三角換元，令a₁=

10

sinα，a₁₁=

10

cosα，再由等差數(shù)列的求和公式，和輔助角公式，即可求出最大值．

解答： （1）證明：∵a_r，a_s，a_t為等比數(shù)列，且r，s，t也為等比數(shù)列
∴a_s²=a_r•a_t，s²=rt，
∴[a₁+（s-1）d]²=[a₁+（r-1）d]•[a₁+（t-1）d]
∴2s（a₁-d）=t（a₁-d）+r（a₁-d），
∵2s≠t+r，（否則s，r，t相等），
∴a₁-d=0即a₁=d；
（2）解：∵（a₁）²+（a₁₁）²=10，
∴令a₁=

10

sinα，a₁₁=

10

cosα，
∴10d=

10

（cosα-sinα），
∴a₁₁+…+a₂₁=

1

2

（a₁₁+a₂₁）•11=

1

2

[2

10

cosα+

10

（cosα-sinα）]•11
=

11 10

2

（3cosα-sinα）=

11

2

×10sin（α-θ）（θ為輔助角）≤55，
當(dāng)且僅當(dāng)sin（α+θ）=1，取最大值55．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項和等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用，考查三角換元法求最值，注意輔助角公式的運用，該題是一道綜合題．