Question

求函數(shù)f（x）=

1

3

x3-4x+4在[0，a]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：通過(guò)對(duì)a與極值點(diǎn)2大小關(guān)系分類討論，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值即可．

解答： 解：f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，解得x=±2．
列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：
①當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，2）單調(diào)遞減，在（2，a]上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（2）=-

4

3

．又f（0）=4，f（a）=

a3

3

-4a+4．
下面比較4與

a3

3

-4a+4的大小，即比較

a3

3

-4a與0的大�。�
令g（a）＞0，又a＞2，解得a＞2

3

；令g（a）＜0，又a＞2，解得2＜a＜2

3

．
∴當(dāng)a＞2

3

時(shí)，f（a）＞f（0），此時(shí)函數(shù)f（x）的最大值為f（a）=

a3

3

-4a+4．
當(dāng)2＜a＜2

3

時(shí)，f（0）＞f（a），此時(shí)函數(shù)f（x）的最大值為f（0）=4．
②當(dāng)0＜a≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，a]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，f（0）=4；當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，f（a）=

a3

3

-4a+4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上函數(shù)的最值問(wèn)題，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．