Question

設(shè)P，Q是雙曲線x²-y²=4

2

上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，將坐標(biāo)平面沿雙曲線的一條漸近線l折成直二面角，則折疊后線段PQ長(zhǎng)的最小值為（　�。�

• A、2

  2

• B、3

  2

• C、4

  2

• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：等軸雙曲線x2-y2=4

2

的兩條漸近線互相垂直，折疊后另一條漸近線垂直于另一個(gè)半平面，由此利用兩點(diǎn)間距離公式和均值定理能求出折疊后線段PQ長(zhǎng)的最小值．

解答： 解：∵等軸雙曲線x2-y2=4

2

的兩條漸近線互相垂直，
∴折疊后另一條漸近線垂直于另一個(gè)半平面，
設(shè)P（-m，-n），Q（m，n），
則m2-n2=4

2

，
過(guò)Q作QR⊥l，垂足為R，
連結(jié)PR，則QR垂直于平面POR，
在平面直角坐標(biāo)系中，若直線l的方程為x+y=0，
則直線QR的方程為x-y=m-n，
∴R（

m-n

2

，

n-m

2

），
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得：
|PQ|²=|QR|²+|PR|²=（m+n）²+2（n-m）²=（m+n）²+

64

(m+n)2

≥16，
∴|PQ|_min=4．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查折疊后線段長(zhǎng)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式和均值定理的合理運(yùn)用．