【題目】橢圓與的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)分別在軸與軸上，它們有相同的離心率，并且的短軸為的長(zhǎng)軸，與的四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積是.

(1)求橢圓與的方程；

(2)設(shè)是橢圓上非頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，與橢圓長(zhǎng)軸兩個(gè)頂點(diǎn)，的連線，分別與橢圓交于，點(diǎn).

(i)求證：直線，斜率之積為常數(shù)；

(ii)直線與直線的斜率之積是否為常數(shù)？若是，求出該值；若不是，說明理由.

【答案】(1)，.(2)(i) 見解析(ii).

【解析】試題分析：（1）橢圓離心率，又，所以，設(shè)，則根據(jù)題中條件可設(shè)，于是根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為菱形，面積，解得，可以得到橢圓，；（2）(i)本問考查圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題，分析題意，設(shè)，而，，所以，，于是，又因?yàn)?/span>，代入上式易求；(ii)根據(jù)(i)問，可先證明為定值，再證明為定值，于是可以得到為定值，由于，，所以可以得為定值.

試題解析：(1)依題意，設(shè)，，由對(duì)稱性，四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為菱形，且面積，解得：.

所以橢圓，.

(2)(i)設(shè)，則，，.

，.

所以：.

直線，斜率之積為常數(shù).

(ii)設(shè)，則.

，，

所以：，同理：，

所以：，由，，結(jié)合(i)有

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.

（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。

（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.

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【題目】如圖2，四邊形為矩形， ⊥平面， ,作如圖3折疊，折痕 ，其中點(diǎn)分別在線段上，沿折疊后點(diǎn)疊在線段上的點(diǎn)記為，并且⊥.（1）證明： ⊥平面;

（2）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)M（x）定義為M（x）=f（x+1）﹣f（x），利潤(rùn)函數(shù)p（x）邊際利潤(rùn)函數(shù)定義為M1（x）=p（x+1）﹣p（x），某公司最多生產(chǎn) 100 臺(tái)報(bào)系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺(tái)的收入函數(shù)為R（x）=3000x﹣20x2（單位：元），其成本函數(shù)為C（x）=500x+4000x（單位：元），利潤(rùn)是收入與成本之差．
（1）求利潤(rùn)函數(shù)p（x）及邊際利潤(rùn)函數(shù)M1（x）；
（2）利潤(rùn)函數(shù)p（x）與邊際利潤(rùn)函數(shù)M1（x）是否具有相等的最大值？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的離心率為，且過點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)任作一條直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（ ）x ．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在所給坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，

(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)， 時(shí)，求證： .

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【題目】設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間上[0，1]的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且恒有0≤f（x）≤1，可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算出曲線y=f（x）及直線x=0，x﹣1=0，y=0所圍成部分的面積S，先產(chǎn)生兩組（每組N個(gè)）區(qū)間[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)X1 ， X2 ， X3 ， XN和y1 ， y2 ， y3 ， yN ， 由此得到N個(gè)點(diǎn)（xi ， yi）（i=1，2，3N，再數(shù)出其中滿足yi≤f（xi）（i=1，2，3，N）的點(diǎn)數(shù)N1 ， 那么由隨機(jī)方法可以得到S的近似值為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保只知識(shí)競(jìng)賽”，全校學(xué)生參加了這次競(jìng)賽.為了了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（得分取正整數(shù)，滿分為 分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì).請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表（如圖所示），解決下列問題.

（1）求出的值；

（2）在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)是 分以上（含 分）的同學(xué)中隨機(jī)抽取 名同學(xué)到廣場(chǎng)參加環(huán)保只是的志愿宣傳活動(dòng).

1）求所抽取的 名同學(xué)中至少有 名同學(xué)來自第 組的概率；

2）求所抽取的 名同學(xué)來自同一組的概率.

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