Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意的，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）記，是否存在互不相等的正整數(shù)，，，使，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的，，；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）不存在.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，與題目中所給等式相減得：，即，又時(shí)，，解得：，所以.

（2）化簡(jiǎn)得，由裂項(xiàng)相消得，，再根據(jù)不等式都成立，化簡(jiǎn)得：，求出的最大值即可.

（3）假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)，，滿足條件，則有.證明其成立的條件與，，互不相等矛盾即可.

（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足，

所以當(dāng)時(shí)，，

兩式相減得：，即，

又時(shí)，，解得：，

所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而.

（2）由（1）知：，

所以，

，

對(duì)任意的，不等式都成立，即，

化簡(jiǎn)得：，令，

因?yàn)?/span>，

故單調(diào)遞減，

所以，故，

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（3）由（1）知：，

假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)，，滿足條件，

則有.

由與得，

即，

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

這與，，互不相等矛盾.

所以不存在互不相等的正整數(shù)，，滿足條件.