Question

【題目】對(duì)于數(shù)集,其中, .定義向量集.若對(duì)于任意,存在,使得,則稱具有性質(zhì).例如具有性質(zhì).

（1）若,且具有性質(zhì),求的值;

（2）若具有性質(zhì),求證: ,且當(dāng)時(shí), .

Answer 1

【答案】（1）4；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）在中取,，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式，

結(jié)合，可得．
（2）取,設(shè),根據(jù)，化簡(jiǎn)可得，所以 異號(hào)．而-1是數(shù)集中唯一的負(fù)數(shù)，所以 中的負(fù)數(shù)必為-1，另一個(gè)數(shù)是1，從而證出 ，最后通過(guò)反證法，可以證明出當(dāng)當(dāng)時(shí), .

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>,選取,,由得,則.

（2）取,設(shè),

由得,則,則和中有一個(gè)數(shù)是,

則和中有一個(gè)數(shù)是,即,

假設(shè),則,再取, ,則,

所以和異號(hào),且其中一個(gè)值為,

若,則,矛盾;

若,則,矛盾;

則假設(shè)不成立,可得當(dāng)時(shí), .