Question

20．已知（2x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的二項(xiàng)式系數(shù)和等于64．
（1）求n的值及展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和；
（2）展開式中是否存在二次項(xiàng)？如果存在，請(qǐng)求出該二次項(xiàng)，如果不存在？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和求出n的值，再令x=1求出展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和；
（2）利用展開式中的通項(xiàng)公式，求出r的值，判斷是否符合題意即可．

解答 解：（1）∵（2x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的二項(xiàng)式系數(shù)和等于64，
∴2ⁿ=64，解得n=6；
∴令x=1，得展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為（2+1）⁶=3⁶；
（2）${（2x+\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{6}$展開式中，通項(xiàng)為
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（2x）^6-r•${（\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{r}$=${C}_{6}^{r}$•2^6-r•${x}^{6-\frac{3r}{2}}$，
令6-$\frac{3r}{2}$=2，
解得r=$\frac{8}{3}$，不合題意，
所以展開式中不存在x的二次項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的靈活應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．