Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S_n+a_n=n．求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 通過S_n+a_n=n與S_n+1+a_n+1=n+1作差、整理得2a_n+1-a_n=1，變形可知a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），進而可知數(shù)列{a_n-1}是以-$\frac{1}{2}$為首項、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列．

解答 證明：∵S_n+a_n=n，
∴S_n+1+a_n+1=n+1，
兩式相減得：2a_n+1-a_n=1，
整理得：a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），
又∵a₁+a₁=1，即a₁=$\frac{1}{2}$，
∴a₁-1=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n-1}是以-$\frac{1}{2}$為首項、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列．

點評 本題考查等比數(shù)列的判定，注意解題方法的積累，屬于中檔題．