Question

5．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=3[f（x）]²-f（x）+m在（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）內有兩個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象可求得A，T，從而可得ω，又曲線經過（$\frac{2π}{3}$，0），|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ的值，從而可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由函數(shù)的定義域求出該三角函數(shù)與二次函數(shù)復合的函數(shù)的值域．

解答 解：（1）解：由圖知A=2，T=4（$\frac{7π}{6}$-$\frac{2π}{3}$）=2π，
∴ω=$\frac{2π}{2π}$=1，
∴f（x）=2sin（x+φ），
∵f（$\frac{2π}{3}$）=0，
∴$\frac{2π}{3}$+φ=kπ，k∈Z．
∴φ=kπ-$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（2）∵x∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴2sin（x+$\frac{π}{3}$）∈（0，2]
   又m=-3[f（x）]²+f（x），
∴而f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）∈（0，2]，
則m∈（-10，$\frac{1}{12}$）．

點評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，求φ的值是關鍵，也是難點，考查識圖與運算求解能力，此外還考查了已知三角函數(shù)的定義域求出由三角函數(shù)與二次函數(shù)復合的函數(shù)的值域，屬于基本知識的考查．