Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中為歐拉數(shù)，，為未知實(shí)數(shù)，且.如果和均為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（1）求；

（2）若函數(shù)在上有極值點(diǎn)，為實(shí)數(shù)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）令，，求導(dǎo)得函數(shù)在上單調(diào)遞增，設(shè)的唯一根為，則滿足，由題設(shè)得， 由此可得答案；

（2）由題意得存在，使得，再分類討論結(jié)合一元二次方程根的分布即可求出答案．

解：（1）令，，

∴（因，），

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，

設(shè)的唯一根為，即滿足，（利用，的函數(shù)圖象很容易確定）

于是，當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，

從而，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

可知，為的單調(diào)遞減區(qū)間，為的單調(diào)遞增區(qū)間，

進(jìn)而，由題設(shè)得，

因此，；

（2）若函數(shù)在上有極值點(diǎn)，則易知存在，使得，

注意到，

①若在上有根，等價(jià)于在上有解，

由一元二次方程根的分布可得，只需滿足，解得；

②若在上有根，等價(jià)于在上有解，

由一元二次方程根的分布可得，只需滿足且，解得；

綜上，的取值范圍為．