Question

在（a+b）ⁿ的展開式中第k項，第k+1項，第k+2項的系數(shù)成等差數(shù)列，求n和k的值．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：方程思想,二項式定理

分析：根據(jù)題意得2

C

k n

=

C

k-1 n

+

C

k+1 n

，整理得n²-（4k+1）n+4k²-2=0，討論k、n的值，求出滿足條件的k、n的值．

解答： 解：根據(jù)題意，得；
（a+b）ⁿ的展開式中第k項，第k+1項，第k+2項的系數(shù)為

C

k-1 n

、

C

k n

、

C

k+1 n

成等差數(shù)列，
∴2

C

k n

=

C

k-1 n

+

C

k+1 n

，
即2•

n!

k!•(n-k)!

=

n!

(k-1)!(n-k+1)!

+

n!

(k+1)!(n-k-1)!

，
∴2（k+1）（n-k+1）=k（k+1）+（n-k）（n-k+1），
整理得n²-（4k+1）n+4k²-2=0，
且△=（4k+1）²-4（4k²-2）=8k+9＞0；
解得n=

(4k+1)+ 8k+9

2

，或n=

(4k+1)- 8k+9

2

；
∴（8k+9）只能是一個奇數(shù)的平方，
令8k+9=（2m+1）²，m∈N^*；
∴8k=（2m+1）²-9=4m²+4m-8，
k=

m2+m-2

2

，
此時n=

(4k+1)+(2m+1)

2

=2k+m+1=（m+2）（m-1）+m+1=m²+2m-1；
∴k=

m2+m-2

2

，n=m²+2m-1，其中m∈N^*．

點評：本題考查了二項式定理的應(yīng)用問題，也考查了一元二次方程的解法與應(yīng)用問題，是難題．