Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-kx+1（k∈R）．
（Ⅰ）若x軸是曲線f（x）=lnx-kx+1一條切線，求k的值；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=

1

x

-k=0，可得切點的坐標，進而可求k的值；
（2）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，k≤0時，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值為f（

1

k

），由此能確定實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=

1

x

-k=0，
∴x=

1

k

，
由ln

1

k

-1+1=0，可得k=1；
（2）當k≤0時，f′（x）=

1

x

-k＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當k＞0時，若x∈（0，

1

k

）時，有f′（x）＞0，若x∈（

1

k

，+∞）時，有f′（x）＜0，
則f（x）在（0，

1

k

）上是增函數(shù)，在（

1

k

，+∞）上是減函數(shù)．
k≤0時，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，
∵f（x）的最大值為f（

1

k

），要使f（x）≤0恒成立，
則f（

1

k

）≤0即可，即-lnk≤0，得k≥1．

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，確定實數(shù)的取值范圍，滲透了分類與整合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．