Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，點E是SD的中點．
（1）求證：SB∥平面EAC；
（2）求點D到平面EAC的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）畫出圖形，證明平面EAC外的直線SB與平面內(nèi)的直線EO平行，即可證明SB∥平面EAC；
（2）作出點D到平面EAC的距離，通過解三角形求解距離即可．

解答： 解：（1）證明：連接BD交AC于點O，連接EO．
∵底面ABCD是正方形，
∴O是BD的中點．
又∵E是SD的中點，
∴EO∥SB．
又∵EO?平面EAC，SB?平面EAC，
∴SB∥平面EAC．
（2）∵ABCD是正方形，∴DB⊥AC
SD⊥平面ABCD，∴AC⊥平面DOE，
∴平面DOE⊥平面ACE，
作DF⊥OE于F，則OF就是點D到平面EAC的距離．
∵SD=AD=a，點E是SD的中點，
∴DE=

1

2

a，DO=

2

2

a，
∴OE=

DE2+DO2

=

( 1 2 a)2+( 2 2 a)2

=

3

2

a．
DF=

DE•D0

OE

=

1 2 a× 2 a 2

3 2 a

=

6

6

a．
∴點D到平面EAC的距離

6

6

a．

點評：本題考查直線與平面平行，直線與直線的垂直，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化思想，邏輯思維能力，是中檔題．