Question

已知函數(shù)f(x)=-(2m+2)lnx+mx-

m+2

x

，試討論此函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

分析：求出f（x）的定義域和導(dǎo)函數(shù)f′（x），根據(jù)根的大小關(guān)系進行對m進行分類討論，分別求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，從而確定f（x）的單調(diào)性．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=-(2m+2)lnx+mx-

m+2

x

，
∴f（x）的定義域為{x|x＞0}，
∵f/(x)=

-(2m+2)

x

+m+

m+2

x2

=

mx2-(2m+2)x+(m+2)

x2

=

(x-1)[mx-(m+2)]

x2

，
①當(dāng)m=0，f/(x)=

-2(x-1)

x2

=0，
∴x=1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）；
②當(dāng)m≠0時，令f′（x）=0，
∴x1=1，x2=

m+2

m

，
若m＞0，則x₁＜x₂，
∵當(dāng)x∈（0，x₁）和x∈（x₂，+∞）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，x₁），（x₂，+∞），遞減區(qū)間為（x₁，x₂）；
若-2＜m＜0，則x₂＜0＜x₁，
∵當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）；
若m＜-2，則0＜x₂＜1，
∵當(dāng)x∈（0，x₂）和x∈（x₁，+∞）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（x₂，x₁）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，x₂），（x₁，+∞），遞增區(qū)間為（x₂，x₁）；
若m=-2，則x₂=0=x₁，
∵當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）；
綜上所述，當(dāng)m＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，x₁），（x₂，+∞），遞減區(qū)間為（x₁，x₂），
當(dāng)-2≤m≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞），
當(dāng)m＜-2時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，x₂），（x₁，+∞），遞增區(qū)間為（x₂，x₁）．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時，經(jīng)常會運用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．