【題目】已知F1 , F2分別為橢圓C1 (a>b>0)的上下焦點,其F1是拋物線C2:x2=4y的焦點,點M是C1與C2在第二象限的交點,且|MF1|=
(1)試求橢圓C1的方程;
(2)與圓x2+(y+1)2=1相切的直線l:y=k(x+t)(t≠0)交橢圓于A,B兩點,若橢圓上一點P滿足 ,求實數(shù)λ的取值范圍.

【答案】
(1)解:令M為(x0,y0),因為M在拋物線C2上,故x02=4y0,①

又|MF1|= ,則y0+1= ,②

由①②解得x0=﹣ ,y0=

橢圓C1的兩個焦點為F1(0,1),F(xiàn)2(0,﹣1),

點M在橢圓上,由橢圓定義,得

2a=|MF1|+|MF2|= =4

∴a=2,又c=1,

∴b2=a2﹣c2=3

∴橢圓C1的方程為


(2)解:∵直線l:y=k(x+t)與圓x2+(y+1)2=1相切

=1,即k= (t≠0,t±1)

把y=k(x+t)代入 并整理得:

(4+3k2)x2+6k2tx+3k2t2﹣12=0

設A(x1,y1),B(x2,y2),則有

x1+x2= ,y1+y2=k(x1+x2)+2kt=

=(x1+x2,y1+y2

∴P( ,

又∵點P在橢圓上

+ =1

∴λ2= = (t≠0)

∵t2>0,t2≠1,

>1且 ≠3,

∴0<λ2<4且λ2

∴λ的取值范圍為(﹣2,﹣ )∪(﹣ ,0)∪(0, )∪( ,2)


【解析】(1)利用拋物線的方程和定義即可求出點M的坐標,再利用橢圓的定義即可求出;(2)根據(jù)直線與圓相切則圓心到直線距離等于半徑,可得k= ,聯(lián)立直線與橢圓方程,結合橢圓上一點P滿足 ,可得到λ2的表達式,進而求出實數(shù)λ的取值范圍

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