Question

9．某正項等比數(shù)列a₁，a₂，…，a_2n，各項和是其偶數(shù)項和的3倍，各項積是2⁵⁰，已知a_n+1=4，問n為何值時，數(shù)列{log₂a_n}的前n項和有最大值？求出這個最大值．

Answer 1

分析 通過求和公式及題意可知$\frac{a（1-{q}^{2n}）}{1-q}$=3•$\frac{aq（1-{q}^{2n}）}{1-{q}^{2}}$，化簡可知公比q=$\frac{1}{2}$，利用a_n+1=4可知a_n=8、a_na_n+1=2⁵，利用等比中項的性質(zhì)可知a₁•a₂•…•a_2n=2⁵ⁿ，進而可知a_n=2^13-n，從而數(shù)列{log₂a_n}是以12為首項、-1為公差的等差數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，$\frac{a（1-{q}^{2n}）}{1-q}$=3•$\frac{aq（1-{q}^{2n}）}{1-{q}^{2}}$，
即$\frac{a}{1-q}$=$\frac{3aq}{1-{q}^{2}}$，解得：q=$\frac{1}{2}$，
∵a_n+1=4，
∴a_n=8，a_na_n+1=2⁵，
∴a₁•a₂•…•a_2n=$（{a}_{n}{a}_{n+1}）^{n}$
=（2⁵）ⁿ=2⁵ⁿ，
又∵各項積是2⁵⁰，
∴n=10，
∴a₁₁=${a}_{1}{q}^{10}$=$\frac{{a}_{1}}{{2}^{10}}$=4，
∴a₁=2¹²，
則a_n=2¹²•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=2^13-n，
∴b_n=log₂a_n=log₂2^13-n=13-n，
顯然數(shù)列{b_n}是以12為首項、-1為公差的等差數(shù)列，
令b_n≥0可知n≥13，
∴數(shù)列{log₂a_n}的前12項和與前13項和相等且最大，
其最大值為：12×12+$\frac{12×11}{2}$×（-1）=78．

點評 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及簡單應用，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．