Question

19．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的上頂點為A，右焦點為F，直線l與橢圓交于B、C兩點，且△ABC的垂心為F．
（1）求直線l的方程；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）A（0，1），F(xiàn)（1，0），則K_AF=-1，利用垂心的性質(zhì)可得：直線l的斜率為1，設直線l：y=x+b，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．由已知BF⊥AC，則$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}•\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=-1，即x₁x₂+y₁y₂=x₁+y₁=x₁+x₂+b．將y=x+b代入x²+2y²=2中整理得3x²+4bx+2b²-2=0，同理，將x=y-b代入x²+2y²=2中整理得3y²-2by+b²-2=0，y₁y₂=$\frac{b2-2}{3}$．利用根與系數(shù)的關系即可得出．
（2）由（1）知x₁+x₂=$\frac{16}{9}$，x₁x₂=$\frac{8}{27}$，利用弦長公式可得：|BC|=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{81}$，利用點到直線的距離公式可得A到BC的距離d，利用S=$\frac{1}{2}$d|BC|即可得出．

解答 解：（1）A（0，1），F(xiàn)（1，0），
則K_AF=-1，直線l的斜率為1，
設直線l：y=x+b，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
由已知BF⊥AC，則$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}•\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=-1，即x₁x₂+y₁y₂=x₁+y₁=x₁+x₂+b．
將y=x+b代入x²+2y²=2中整理得3x²+4bx+2b²-2=0，
則x₁+x₂=-$\frac{4}{3}$b，x₁x₂=$\frac{2b2-2}{3}$；
同理，將x=y-b代入x²+2y²=2中整理得3y²-2by+b²-2=0，y₁y₂=$\frac{b2-2}{3}$．
∴$\frac{2^{2}-2}{3}$+$\frac{^{2}-2}{3}$=-$\frac{4}{3}$b+b，解得b=-$\frac{4}{3}$或1（舍），
故l的方程為y=x-$\frac{4}{3}$．
（2）由（1）知x₁+x₂=$\frac{16}{9}$，x₁x₂=$\frac{8}{27}$，
∴|BC|=$\sqrt{2}$$\sqrt{（x1+x2）2-4x1x2}$=$\frac{4\sqrt{5}}{81}$，
d=$\frac{|0-3-4|}{\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{6}$，
∴S=$\frac{1}{2}$d|BC|=$\frac{1}{2}$×$\frac{7\sqrt{2}}{6}$×$\frac{4\sqrt{5}}{81}$=$\frac{7\sqrt{10}}{243}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、三角形垂心的性質(zhì)、弦長公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．