Question

4．如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN=3NC，AM與BN相交于點P，求AM：PM的值．

Answer 1

分析 設$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{CN}$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$，以$\overrightarrow{{e}_{2}}$和$\overrightarrow{{e}_{1}}$為基底分別表示出$\overrightarrow{AM}$與$\overrightarrow{BN}$，根據(jù)向量共線，求出$\overrightarrow{AP}$與$\overrightarrow{AM}$的關(guān)系即可．

解答 解：設$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{CN}$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
則$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CM}$=-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$-$\overrightarrow{{e}_{1}}$，
$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CN}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$；
∵A、P、M和B、P、N分別共線，
∴存在實數(shù)λ、μ使$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AM}$=-λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
$\overrightarrow{BP}$=μ$\overrightarrow{BN}$=2μ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+μ$\overrightarrow{{e}_{2}}$；
∴$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{AP}$=（λ+2μ）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+（4λ+μ）$\overrightarrow{{e}_{2}}$；
而$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ+2μ=2}\\{4λ+μ=4}\end{array}\right.$；
解得λ=$\frac{6}{7}$，μ=$\frac{4}{7}$；
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{6}{7}$$\overrightarrow{AM}$，
即AP：PM=6：1．

點評 本題考查了平面向量的加法法則和共線向量定理以及平面向量基本定理的應用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應用問題，是綜合性題目．