精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區(qū)間和零點；

（2）若恒成立，求的取值范圍.

【答案】（1）單調遞減區(qū)間：；單調遞增區(qū)間：；零點為：（2）

【解析】

（1）求導根據導函數正負得到單調區(qū)間；令，再結合單調性可知唯一零點為；（2）將不等式轉化為圖像恒在上方，利用臨界狀態(tài)，即直線與相切的情況，求得相切時；從而可構造出，利用導數求得，由此可得取值范圍.

（1）

令，解得：

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增

單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為

令，解得：

所以函數的零點是

（2）畫出的大致圖像，如圖所示

設，則的圖像恒過點

設函數的圖像在點處的切線過點

所以，

的圖像在處的切線方程為

將代入切線方程，得

整理得：

設

令，得或

所以在，上單調遞增，在上單調遞減

又，，

所以是方程的唯一解

所以過點且與的圖像相切的直線方程為

令，則

當時，；當時，

又，即在上恒成立

即函數的圖像恒在其切線的上方

數形結合可知，的取值范圍

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點為，左頂點為A，右頂點B在直線上．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設點P是橢圓C上異于A，B的點，直線交直線于點，當點運動時，判斷以為直徑的圓與直線PF的位置關系，并加以證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】圓的方程為：，為圓上任意一點，過作軸的垂線，垂足為，點在上，且.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過點的直線與曲線交于、兩點，點的坐標為，的面積為，求的最大值，及直線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.

(1)討論函數F(x)＝f(x)－g(x)的單調性；

(2)若方程f(x)＝g(x)在區(qū)間[，e]上有兩個不等解，求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知圓O經過橢圓C：=1（a＞b＞0）的兩個焦點以及兩個頂點，且點（b，）在橢圓C上．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若直線l與圓O相切，與橢圓C交于M、N兩點，且|MN|=，求直線l的傾斜角．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知曲線y=5,求:

(1)曲線上與直線y=2x-4平行的切線方程.

(2)求過點P(0,5),且與曲線相切的切線方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知依次滿足

（1）求點的軌跡；

（2）過點作直線交以為焦點的橢圓于兩點，線段的中點到軸的距離為，且直線與點的軌跡相切，求該橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，設點的坐標為，是否存在橢圓上的點及以為圓心的一個圓，使得該圓與直線都相切，如存在，求出點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數

討論函數的單調性；

設，對任意的恒成立，求整數的最大值；

求證：當時，

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，過橢圓E：（a＞b＞0）的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓E于P，Q兩點，點A，B是橢圓E的頂點，且AB∥OP，F2為右焦點，△PF2Q的周長為8．

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點F1作直線l與橢圓E交于C，D兩點，若△OCD的面積為，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案