【題目】如圖,一個湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q,并修建兩段直線型道路PB、QA.規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD(C、D為垂足),測得AB=10,AC=6,BD=12(單位:百米).
(1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB的長;
(2)在規(guī)劃要求下,P和Q中能否有一個點選在D處?并說明理由;
(3)對規(guī)劃要求下,若道路PB和QA的長度均為d(單位:百米).求當d最小時,P、Q兩點間的距離.
【答案】(1)15(百米);
(2)見解析;
(3)17+(百米).
【解析】
解:解法一:
(1)過A作,垂足為E.利用幾何關系即可求得道路PB的長;
(2)分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.
(3)先討論點P的位置,然后再討論點Q的位置即可確定當d最小時,P、Q兩點間的距離.
解法二:
(1)建立空間直角坐標系,分別確定點P和點B的坐標,然后利用兩點之間距離公式可得道路PB的長;
(2)分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.
(3)先討論點P的位置,然后再討論點Q的位置即可確定當d最小時,P、Q兩點間的距離.
解法一:
(1)過A作,垂足為E.
由已知條件得,四邊形ACDE為矩形,.
因為PB⊥AB,
所以.
所以.
因此道路PB的長為15(百米).
(2)①若P在D處,由(1)可得E在圓上,則線段BE上的點(除B,E)到點O的距離均小于圓O的半徑,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.
②若Q在D處,連結AD,由(1)知,
從而,所以∠BAD為銳角.
所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.
因此,Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.
綜上,P和Q均不能選在D處.
(3)先討論點P的位置.
當∠OBP<90°時,線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑,點P不符合規(guī)劃要求;
當∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點F,OF≥OB,即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑,點P符合規(guī)劃要求.
設為l上一點,且,由(1)知,,
此時;
當∠OBP>90°時,在中,.
由上可知,d≥15.
再討論點Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,點Q只有位于點C的右側,才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時,.此時,線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.
綜上,當PB⊥AB,點Q位于點C右側,且CQ=時,d最小,此時P,Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此,d最小時,P,Q兩點間的距離為17+(百米).
解法二:
(1)如圖,過O作OH⊥l,垂足為H.
以O為坐標原點,直線OH為y軸,建立平面直角坐標系.
因為BD=12,AC=6,所以OH=9,直線l的方程為y=9,點A,B的縱坐標分別為3,3.
因為AB為圓O的直徑,AB=10,所以圓O的方程為x2+y2=25.
從而A(4,3),B(4,3),直線AB的斜率為.
因為PB⊥AB,所以直線PB的斜率為,
直線PB的方程為.
所以P(13,9),.
因此道路PB的長為15(百米).
(2)①若P在D處,取線段BD上一點E(4,0),則EO=4<5,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.
②若Q在D處,連結AD,由(1)知D(4,9),又A(4,3),
所以線段AD:.
在線段AD上取點M(3,),因為,
所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.
因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.
綜上,P和Q均不能選在D處.
(3)先討論點P的位置.
當∠OBP<90°時,線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑,點P不符合規(guī)劃要求;
當∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點F,OF≥OB,即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑,點P符合規(guī)劃要求.
設為l上一點,且,由(1)知,,此時;
當∠OBP>90°時,在中,.
由上可知,d≥15.
再討論點Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,點Q只有位于點C的右側,才能符合規(guī)劃要求.
當QA=15時,設Q(a,9),由,
得a=,所以Q(,9),此時,線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.
綜上,當P(13,9),Q(,9)時,d最小,此時P,Q兩點間的距離
.
因此,d最小時,P,Q兩點間的距離為(百米).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某種質地均勻的正四面體玩具的4個面上分別標有數(shù)字0,1,2,3,將這個玩具拋擲次,記第次拋擲后玩具與桌面接觸的面上所標的數(shù)字為,數(shù)列的前和為.記是3的倍數(shù)的概率為.
(1)求,;
(2)求.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校為了解校園安全教育系列活動的成效,對全校學生進行了一次安全意識測試,根據(jù)測試成績評定“合格”、“不合格”兩個等級,同時對相應等級進行量化:“合格”記5分,“不合格”記0分.現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷,統(tǒng)計結果及對應的頻率分布直方圖如圖所示:
等級 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | ||||
頻數(shù) | 6 | 24 |
(Ⅰ)求, , 的值;
(Ⅱ)用分層抽樣的方法,從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中隨機抽取10人進行座談.現(xiàn)再從這10人這任選4人,記所選4人的量化總分為,求的分布列及數(shù)學期望;
(Ⅲ)某評估機構以指標(,其中表示的方差)來評估該校安全教育活動的成效.若,則認定教育活動是有效的;否則認定教育活動無效,應調整安全教育方案.在(Ⅱ)的條件下,判斷該校是否應調整安全教育方案?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點C在以AB為直徑的圓上運動,PA⊥平面ABC,且PA=AC,D,E分別是PC,PB的中點.
(1)求證:PC⊥平面ADE.
(2)若二面角C﹣AE﹣B為60°,求直線AB與平面ADE所成角的大。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知動圓與圓: 相切,且與圓: 相內切,記圓心的軌跡為曲線.設為曲線上的一個不在軸上的動點, 為坐標原點,過點作的平行線交曲線于, 兩個不同的點.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)試探究和的比值能否為一個常數(shù)?若能,求出這個常數(shù),若不能,請說明理由;
(Ⅲ)記的面積為, 的面積為,令,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某公園內有一塊矩形綠地區(qū)域ABCD,已知AB=100米,BC=80米,以AD,BC為直徑的兩個半圓內種植花草,其它區(qū)域種值苗木. 現(xiàn)決定在綠地區(qū)域內修建由直路BN,MN和弧形路MD三部分組成的觀賞道路,其中直路MN與綠地區(qū)域邊界AB平行,直路為水泥路面,其工程造價為每米2a元,弧形路為鵝卵石路面,其工程造價為每米3a元,修建的總造價為W元. 設.
(1)求W關于的函數(shù)關系式;
(2)如何修建道路,可使修建的總造價最少?并求最少總造價.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在南北方向有一條公路,一半徑為100的圓形廣場(圓心為)與此公路所在直線相切于點,點為北半圓。ɑ)上的一點,過點作直線的垂線,垂足為,計劃在內(圖中陰影部分)進行綠化,設的面積為(單位:),
(1)設,將表示為的函數(shù);
(2)確定點的位置,使綠化面積最大,并求出最大面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某研究所開發(fā)了一種新藥,測得成人注射該藥后血藥濃度y(微克/毫升)與給藥時間x(小時)之間的若干組數(shù)據(jù),并由此得出y與x之間的一個擬合函數(shù)y=40(0.6x﹣0.62x)(x∈[0,12]),其簡圖如圖所示.試根據(jù)此擬合函數(shù)解決下列問題:
(1)求藥峰濃度與藥峰時間(精確到0.01小時),并指出血藥濃度隨時間的變化趨勢;
(2)求血藥濃度的半衰期(血藥濃度從藥峰濃度降到其一半所需要的時間)(精確到0.01小時).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線過點,其參數(shù)方程為,(為參數(shù),),以坐標原點為極點,以軸的 非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)若曲線和曲線交于兩點,且,求實數(shù)的值.
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