Question

5．如果函數(shù)y=f（x）（x∈D）滿(mǎn)足：
（1）f（x）在D上是單調(diào)函數(shù)；
（2）存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在區(qū)間[a，b]的值域也是[a，b]，那么就稱(chēng)函數(shù)y=f（x）為閉函數(shù)，試判斷函數(shù)y=x²+2x，x∈[-1，+∞）是否為閉函數(shù)，如果是閉函數(shù)，那么求出符合條件的區(qū)間[a，b]，如果不是閉函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)一元二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合閉函數(shù)的性質(zhì)建立方程組進(jìn)行求解即可．

解答 解：y=x²+2x的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，則x∈[-1，+∞）上函數(shù)為增函數(shù)，
若函數(shù)為閉函數(shù)，
則滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，
即a，b是方程f（x）=x的兩個(gè)不同的根，
由y=x²+2x=x得x²+x=0，解得x=0或x=-1，
即a=-1，b=0，
則符合條件的閉區(qū)間為[-1，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義型函數(shù)的理解和運(yùn)用能力，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．