Question

已知函數(shù)f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2011

2011

，試問函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)有多少個(gè)零點(diǎn)？（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意求導(dǎo)f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁰，從而由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式證明f′（x）＞0，從而說明f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2011

2011

在定義域內(nèi)是增函數(shù)，再求f（-1）及f（0）；從而判斷．

解答： 解：∵f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁰；
①當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=1＞0；
②當(dāng)x=-1時(shí)，f′（x）=2011＞0；
③當(dāng)x≠0且x≠-1時(shí)，f′（x）=

1+x2011

1+x

＞0；
∴f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2011

2011

在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
又∵f（-1）=1-1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+

1

5

+…-

1

2011

＜0，
f（0）=1＞0；
故函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)；
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的應(yīng)用，屬于難題．