Question

已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，a₁=2，公比q＞0，且a₂，6，a₃成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=1+log₂a_n，T_n=

1

b12

+

1

b22

+

1

b32

+…+

1

bn2

，求證：

1

4

≤T_n＜

3

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且a₂，6，a₃成等差數(shù)列，可得2q+2q²=12，又q＞0，解得q．即可得出a_n．
（2）b_n=1+log₂a_n=n+1．可得

1

b 2 n

=

1

(n+1)2

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，于是T_n＜

1

22

+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

3

4

-

1

n+1

，而T_n≥T₁，即可證明．

解答： （1）解：由已知，數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，a₁=2，公比q＞0，且a₂，6，a₃成等差數(shù)列．
∴a₂+a₃=12，∴2q+2q²=12，
又q＞0，解得q=2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）證明：b_n=1+log₂a_n=1+log22n=n+1．
∴

1

b 2 n

=

1

(n+1)2

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=

1

b12

+

1

b22

+

1

b32

+…+

1

bn2

＜

1

22

+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

3

4

-

1

n+1

＜

3

4

．
又T_n≥

1

22

=

1

4

，
∴

1

4

≤T_n＜

3

4

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了放縮法證明不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．