【題目】如圖,在三棱錐中, , , 的中點(diǎn).

(1)求證:

(2)設(shè)平面平面, , ,求二面角的平面角的正弦值.

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】試題分析:

(1)由題意可得證得平面,然后利用線面垂直的判斷定理即可證得;

(2)由題意建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合平面的法向量可得面角的平面角的正弦值是.

試題解析:

(1)設(shè)中點(diǎn)為,連接, ,

因?yàn)?/span>,所以,

的中點(diǎn),

所以.

因?yàn)?/span>,所以,

因?yàn)?/span>,所以平面,又平面,

所以

(2)由(1)知

因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面, 平面

所以平面,又.

為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以, , 軸, 軸, 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,

因?yàn)?/span> , ,所以

中點(diǎn), , ,得, ,

則, , ,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,即,可得

因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面, 平面,

所以平面,所以平面的一個(gè)法向量為

,

設(shè)二面角的大小為,則

所以

∴二面角的平面角的正弦值為.

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