Question

【題目】已知函數f（x）＝2xlnx﹣x2．

（1）求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程

（2）若方程f′（x）＝a在[，+∞）有且僅有兩個實根（其中f′（x）為f（x）的導函數，e為自然對數的底），求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 2x﹣y﹣2＝0；(2) （2，e2﹣1]．

【解析】

（1）先求切點的縱坐標，再求導，進而求出在切點處的導數值，即切點處的斜率，代入點斜式方程可得切線方程；

（2）函數f（x）求導得f'（x），然后再求導得f'（x）在[，+∞）的單調性，求出最小值，進而得與a有兩個根時的取值范圍．

（1）由函數f（x）＝2xlnx﹣x2可知：f（1）＝0，f'（x）＝2（lnx+1）﹣1，

∴f'（1）＝2，所以曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程：y＝2（x﹣1），

曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程：2x﹣y﹣2＝0；

（2）由（1）得，f'（x）＝2lnx+1，

f'（x），

當x＜1，f'（x）＜0，f'（x）單調遞減，

當x＞1，f'（x）＞0，f'（x）單調遞增，

而f'（）＝﹣2+1+e2＞0，最小值f'（1）＝2＞0時，f（x）→+∞，

所以f'（x）＝a有兩個根的取值范圍：（2，e2﹣1]．

故實數a的取值范圍：（2，e2﹣1]．