Question

【題目】已知函數(shù)，（，）．

（1）若，求的極值和單調(diào)區(qū)間；

（2）若在區(qū)間上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）有極小值1，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）.

【解析】

（1）寫出函數(shù)解析式，求導(dǎo)，得當(dāng)x變化時，，的變化情況表，從而求出極值與單調(diào)區(qū)間；

（2）將存在性問題轉(zhuǎn)化為最值問題，得在區(qū)間上的最小值小于0，分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，再求參數(shù)的范圍．

（1）∵，∴（），∴

令，得

當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表：

x		1
	-	0	+
	減	極小值	增

∴當(dāng)時，函數(shù)有極小值1；

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；

（2）若在區(qū)間上至少存在一點，使成立，

即在區(qū)間上的最小值小于0，

，（）令，得

①當(dāng)時，

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為

∴由得，即

②當(dāng)時，

（ⅰ）當(dāng)即時，

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為

顯然，這與在區(qū)間上的最小值小于0不符

（ⅱ）當(dāng)即時

當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表：

x
	－	0	+
	減	極小值	增

∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為

∴由，得，即

∴綜上述，實數(shù)a的取值范圍是．