【題目】如果函數(shù)滿足且是它的零點(diǎn)，則函數(shù)是“有趣的”，例如就是“有趣的”，已知是“有趣的”.

（1）求出b、c并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對于任意正數(shù)x，都有恒成立，求參數(shù)k的取值范圍.

【答案】（1），，單減區(qū)間為0，1），單增區(qū)間為；（2）

【解析】

（1）根據(jù)定義得方程恒成立，解得b、c，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）先化簡不等式，再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號分類討論,利用導(dǎo)數(shù)證明恒成立,再說明不恒成立.

（1）因為是“有趣的”，所以

即

的定義域為，單減區(qū)間為（0，1），單增區(qū)間為.

（2）參數(shù)的取值范圍為.

引理：不等式對任意正數(shù)y都成立。證明如下：

由恒成立，得恒成立。.

我們構(gòu)造函數(shù)。注意到。

構(gòu)造，注意到，且

我們以下分兩部分進(jìn)行說明：

第一部分：時，恒成立。

時，由引理得：，知道，

從而當(dāng)時有，時有，所以在（0，1）上為負(fù)，在上為正。

從而在上單減，在上單增，最小值為。

從而

第二部分：時，不滿足條件。

構(gòu)造函數(shù)。

（ⅰ）若，則對于任意，都有。

（ⅱ）若，則對于任意，，

而，所以在（0，1）上有唯一零點(diǎn)，同時在，時都有。

于是只要，無論是（�。┻�是（ⅱ），我們總能找到一個實數(shù)，在時都有。

這樣在時，都有，結(jié)合，所以時，從而在時有。，所以時，不滿足要求。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（，）．

（1）若，求的極值和單調(diào)區(qū)間；

（2）若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：

①是偶函數(shù)；②的最大值為；

③在有個零點(diǎn)；④在區(qū)間單調(diào)遞增.

其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）

A.①②B.①③C.②④D.①④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù).

（Ⅰ）若，解不等式；

（Ⅱ）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在上的函數(shù)對任意的都滿足，當(dāng)≤時，，若函數(shù)，且至少有6個零點(diǎn)，則取值范圍是

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某汽車美容公司為吸引顧客,推出優(yōu)惠活動:對首次消費(fèi)的顧客,按/次收費(fèi),并注冊成為會員,對會員逐次消費(fèi)給予相應(yīng)優(yōu)惠,標(biāo)準(zhǔn)如下:

消費(fèi)次第

第次

第次

第次

第次

次

收費(fèi)比率

該公司注冊的會員中沒有消費(fèi)超過次的,從注冊的會員中,隨機(jī)抽取了100位進(jìn)行統(tǒng)計,得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:

消費(fèi)次數(shù)

次

次

次

次

次

人數(shù)

假設(shè)汽車美容一次,公司成本為元,根據(jù)所給數(shù)據(jù),解答下列問題:

（1）某會員僅消費(fèi)兩次,求這兩次消費(fèi)中,公司獲得的平均利潤;

（2）以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,設(shè)該公司為一位會員服務(wù)的平均利潤為元,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于正整數(shù)集合，如果任意去掉其中一個元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合為“可分集合”.

（1）判斷集合和是否是“可分集合”（不必寫過程）；

（2）求證：五個元素的集合一定不是“可分集合”；

（3）若集合是“可分集合”.

①證明：為奇數(shù)；

②求集合中元素個數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值；

（2）在（1）條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（3）當(dāng)，且時，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達(dá)對祖國的熱愛之情，在數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標(biāo)方程為（），M為該曲線上的任意一點(diǎn).

（1）當(dāng)時，求M點(diǎn)的極坐標(biāo)；

（2）將射線OM繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N，求的最大值.

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