Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁＝2，n∈N^*，a_n＞0，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n＋1＝.

(1) 求{S_n}的通項(xiàng)公式；

(2) 設(shè){b_k}是{S_n}中的按從小到大順序組成的整數(shù)數(shù)列．

① 求b₃；

② 存在N(N∈N^*)，當(dāng)n≤N時(shí)，使得在{S_n}中，數(shù)列{b_k}有且只有20項(xiàng)，求N的范圍．

Answer 1

解：(1) a_n＋1＝S_n＋1－S_n，

∴ (S_n＋1－S_n)(S_n＋1＋S_n－2)＝2；

即(S_n＋1)²－(S_n)²－2(S_n＋1－S_n)＝2，

∴ (S_n＋1－1)²－(S_n－1)²＝2，且(S₁－1)²＝1，

∴ {(S_n－1)²}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，

∴ S_n＝1＋.

(2) ① n＝1時(shí)，S₁＝1＋1＝2＝b₁，n＝5時(shí)，S₅＝1＋3＝4＝b₂，n＝13時(shí)，S₁₃＝1＋5＝6＝b₃.

② ∵ 2n－1是奇數(shù)，S_n＝1＋為有理數(shù)，則＝2k－1，

∴ n＝2k²－2k＋1，

當(dāng)k＝20時(shí)，n＝761；當(dāng)k＝21時(shí)，n＝841；

∴ 存在N∈[761，840]，當(dāng)n≤N時(shí)，使得在{S_n}中，數(shù)列{b_k}有且只有20項(xiàng)．