Question

【題目】（本小題滿分14分）已知過原點(diǎn)的動直線與圓 相交于不同的兩點(diǎn)，．

（1）求圓的圓心坐標(biāo)；

（2）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線 與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．

【解析】

試題（1）通過將圓的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即得結(jié)論；（2）設(shè)當(dāng)直線的方程為y=kx，通過聯(lián)立直線與圓的方程，利用根的判別式大于0、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化，計(jì)算即得結(jié)論；（3）通過聯(lián)立直線與圓的方程，利用根的判別式△=0及軌跡的端點(diǎn)與點(diǎn)（4，0）決定的直線斜率，即得結(jié)論

試題解析：（1）由得，

∴ 圓的圓心坐標(biāo)為；

（2）設(shè)，則

∵ 點(diǎn)為弦中點(diǎn)即，

∴即，

∴ 線段的中點(diǎn)的軌跡的方程為；

（3）由（2）知點(diǎn)的軌跡是以為圓心為半徑的部分圓弧（如下圖所示，不包括兩端點(diǎn)），且，，又直線：過定點(diǎn)，

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，由得，又，結(jié)合上圖可知當(dāng)時(shí)，直線：與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)．