Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線(xiàn)l：ax+by+c=0和點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），記η=（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c），若η＜0，則稱(chēng)點(diǎn)P₁，P₂被直線(xiàn)l分隔，若曲線(xiàn)C與直線(xiàn)l沒(méi)有公共點(diǎn)，且曲線(xiàn)C上存在點(diǎn)P₁、P₂被直線(xiàn)l分隔，則稱(chēng)直線(xiàn)l為曲線(xiàn)C的一條分隔線(xiàn)．
（1）求證：點(diǎn)A（1，2），B（-1，0）被直線(xiàn)x+y-1=0分隔；
（2）若直線(xiàn)y=kx是曲線(xiàn)x²-4y²=1的分隔線(xiàn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)Q（0，2）的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E，求E的方程，并證明y軸為曲線(xiàn)E的分隔線(xiàn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)的一般式方程

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入η=（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c），再根據(jù)η＜0，得出結(jié)論．
（2）聯(lián)立

x2-4y2=1 y=kx

可得 （1-4k²）x²=1，根據(jù)此方程無(wú)解，可得1-4k²≤0，從而求得k的范圍．
（3）設(shè)點(diǎn)M（x，y），與條件求得曲線(xiàn)E的方程為[x²+（y-2）²]x²=1 ①．由于y軸為x=0，顯然與方程①聯(lián)立無(wú)解．把P₁、P₂的坐標(biāo)代入x=0，由η=1×（-1）=-1＜0，可得x=0是一條分隔線(xiàn)．

解答： 解：（1）把點(diǎn)（1，2）、（-1，0）分別代入x+y-1可得η=（1+2-1）（-1-1）=-4＜0，
∴點(diǎn)（1，2）、（-1，0）被直線(xiàn) x+y-1=0分隔．
（2）聯(lián)立

x2-4y2=1 y=kx

可得 （1-4k²）x²=1，根據(jù)題意，此方程無(wú)解，故有1-4k²≤0，
∴|k|≥

1

2

．當(dāng)|k|≥

1

2

時(shí)，對(duì)于直線(xiàn)y=kx，曲線(xiàn)x²-4y²=1上的點(diǎn)（-1，0）和（1，0）滿(mǎn)足η=-k²＜0，即點(diǎn)（-1，0）和（1，0）被y=kx分隔．
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-

1

2

]∪[

1

2

，+∞）．
（3）設(shè)點(diǎn)M（x，y），則

x2+(y-2)2

•|x|=1，故曲線(xiàn)E的方程為[x²+（y-2）²]x²=1 ①．
對(duì)任意的y₀，（0，y₀）不是上述方程的解，即y軸與曲線(xiàn)E沒(méi)有公共點(diǎn)．
又曲線(xiàn)E上的點(diǎn)（1，2）、（-1，2）對(duì)于y軸（x=0）滿(mǎn)足η=1×（-1）=-1＜0，即點(diǎn)（-1，2）和（1，2）被y軸分隔，所以y軸為曲線(xiàn)E的分隔線(xiàn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查新定義，直線(xiàn)的一般式方程，求點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題．