【題目】已知橢圓，圓心為坐標原點的單位圓O在C的內(nèi)部，且與C有且僅有兩個公共點，直線與C只有一個公共點.

（1）求C的標準方程；

（2）設不垂直于坐標軸的動直線l過橢圓C的左焦點F，直線l與C交于A，B兩點，且弦AB的中垂線交x軸于點P，試求的面積的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)根據(jù)單位圓O在C的內(nèi)部,且與C有且僅有兩個公共點可得,再聯(lián)立與C求得二次方程令判別式等于0即可求得.

(2) 由題意設直線l的方程為,聯(lián)立直線l與橢圓的方程,再利用韋達定理與面積公式求得關于的面積的表達式,最后利用換元求導分析函數(shù)的最值即可.

解：（1）依題意,得

將代入橢圓的方程,得

由,解得

所以橢圓的標準方程為

（2）由（1）可得左焦點

由題意設直線l的方程為,

代入橢圓方程,得

設,則

所以,AB的中點為

設點,則,解得

故

令,則,且

設,則

所以,即的面積的最大值為

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A.B.

C.D.

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【題目】全國文明城市是中國所有城市品牌中含金量最高、創(chuàng)建難度最大的一個，是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，是目前國內(nèi)城市綜合類評比中的最高榮譽，也是最具價值的城市品牌，作為普通市民，既是城市文明的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者，皖北某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取400份試卷作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：后得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（Ⅰ）求樣本的平均數(shù)；

（Ⅱ）現(xiàn)從該樣本成績在與兩個分數(shù)段內(nèi)的市民中按分層抽樣選取6人，求從這6人中隨機選取2人，且2人的競賽成績之差的絕對值大于20的概率.

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（1）求橢圓的方程；

（2）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；

（3）延長線段與橢圓交于點，若四邊形為平行四邊形，求此時直線的斜率.

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