Question

【題目】已知圓，圓，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)不經(jīng)過點的直線l與曲線C相交于A，B兩點，直線QA與直線QB的斜率均存在且斜率之和為-2，證明：直線l過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，得到，，從而得到，得到，從而求出橢圓的標準方程；（2）直線l斜率存在時，設(shè)，代入橢圓方程，得到，，表示出直線QA與直線QB的斜率，根據(jù)，得到，的關(guān)系，得到直線所過的定點，再驗證直線l斜率不存在時，也過該定點，從而證明直線過定點.

（1）設(shè)動圓P的半徑為r，

因為動圓P與圓M外切，所以，

因為動圓P與圓N內(nèi)切，所以，

則，

由橢圓定義可知，曲線C是以為左、右焦點，長軸長為8的橢圓，

設(shè)橢圓方程為，

則，，故，

所以曲線C的方程為.

（2）①當直線l斜率存在時，設(shè)直線，，

聯(lián)立，

得，

設(shè)點，則，

，

所以，

即，

得.

則，

因為，所以.

即，

直線，

所以直線l過定點.

②當直線l斜率不存在時，設(shè)直線，且，

則點

，

解得，

所以直線也過定點.

綜上所述，直線l過定點.