設(shè)雙曲線C:的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)。
(1)若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T,且,求點(diǎn)T的坐標(biāo);
(2)求直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程;
(3)過點(diǎn)F(1,0)作直線l與(Ⅱ)中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B,設(shè),若(T為(1)中的點(diǎn))的取值范圍。
(1)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,0) 
(2) 
(3)

試題分析:(1)設(shè)出P、Q的坐標(biāo),求得向量的坐標(biāo),利用 ,P(x0,y0)在雙曲線上,即可求得結(jié)論;
(2)利用三點(diǎn)共線建立方程,利用P(x0,y0)在雙曲線上,即可求得軌跡方程;
(3)用坐標(biāo)表示,利用韋達(dá)定理,求得模長,從而可得函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而可求其范圍.
解:(1)由題,得,設(shè)

 ……①
在雙曲線上,則  ……②
聯(lián)立①、②,解得   由題意,
∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,0) 
(2)設(shè)直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)
由A1、P、M三點(diǎn)共線,得
  ……③ 
由A2、Q、M三點(diǎn)共線,得
  ……④ 聯(lián)立③、④,解得    
在雙曲線上,∴∴軌跡E的方程為 
(3)容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0。
故可設(shè)直線l的方程為中,得  
設(shè)
則由根與系數(shù)的關(guān)系,得 ……⑤ ……⑥
 ∴有
將⑤式平方除以⑥式,得 

 



考點(diǎn):
點(diǎn)評(píng):解決該試題的關(guān)鍵是借助于向量關(guān)系式來表示得到坐標(biāo),同時(shí)能利用三點(diǎn)共線,進(jìn)而得到坐標(biāo)關(guān)系,解得軌跡方程。易錯(cuò)點(diǎn)就是設(shè)而不求的思想,在運(yùn)算中的準(zhǔn)確表示。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)
設(shè)A1、A2是雙曲線的實(shí)軸兩個(gè)端點(diǎn),P1P2是雙曲線的垂直于軸的弦,
(Ⅰ)直線A1P1與A2P2交點(diǎn)P的軌跡的方程;
(Ⅱ)過軸的交點(diǎn)Q作直線與(1)中軌跡交于M、N兩點(diǎn),連接FN、FM,其中F,求證:為定值;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn),為雙曲線的右頂點(diǎn),線段的垂直平分線交雙曲線于,且,則雙曲線的離心率為
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

雙曲線(p>0)的左焦點(diǎn)在拋物線y2=2px的準(zhǔn)線上,則該雙曲線的離
心率(   )
A.1B.C.D.2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

若直線y=kx-1與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),則k=     

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),是以為圓心,以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn),且△是等邊三角形,則雙曲線的離心率為(   )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知雙曲線與圓交于A、B、C、D四點(diǎn),若四邊形ABCD是正方形,則雙曲線的離心率是                                   ( )
(A)          (B)        (C)            (D)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

是雙曲線上一點(diǎn),且滿足,則雙曲線離心率為(    )
A.B.C.D.

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