Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率e=

3

，焦距為2

3

．
（1）求該雙曲線方程．
（2）是否定存在過點(diǎn)P（1，1）的直線l與該雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？若存在，請求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,存在型,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出雙曲線方程，由條件可得c，再由離心率公式．可得a，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到雙曲線方程；
（2）假設(shè)存在，設(shè)過P（1，1）的直線方程為：y-1=k（x-1），A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），代入雙曲線方程，再相減，運(yùn)用平方差公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，及斜率公式，即可得到所求直線的斜率，進(jìn)而得到直線方程，檢驗(yàn)判別式即可判斷．

解答： 解：（1）設(shè)雙曲線方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）
由離心率e=

3

，焦距為2

3

，則c=

3

，a=1，b²=c²-a²=2，
則雙曲線方程為：x²-

y2

2

=1；
（2）假設(shè)存在過點(diǎn)P（1，1）的直線l與該雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，
且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)．
設(shè)過P（1，1）的直線方程為：y-1=k（x-1），
A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，
相減可得，2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）
由P為AB的中點(diǎn)，則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
則k=

y1-y2

x1-x2

=2，
即有直線AB的方程：y-1=2（x-1），即有y=2x-1，
代入雙曲線方程2x²-y²=2，可得，2x²-4x+3=0，
檢驗(yàn)判別式為16-24＜0，方程無解．
故不存在過點(diǎn)P（1，1）的直線l與該雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，
且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程、性質(zhì)和運(yùn)用，考查點(diǎn)差法求中點(diǎn)問題，注意檢驗(yàn)判別式的符號，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．