已知關(guān)于x的三角方程sin（x+
π
4
）-sin2x=a有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
考點(diǎn)：二倍角的正弦
專題：三角函數(shù)的求值
分析：將原式化簡(jiǎn)為：sinxcos
π
4
+cosxsin
π
4
-2sinxcosx=a，然后換元，設(shè)t=sinx+cosx，將問題轉(zhuǎn)化成方程2t2-
2
t+2a-2=0在區(qū)間[-
2
，
2
]上有實(shí)根，然后利用一元二次方程根的分布求解a的取值范圍．
解答： 解：由sin（x+
π
4
）-sin2x=a，
得sinxcos
π
4
+cosxsin
π
4
-2sinxcosx=a，
即
2
2
(sinx+cosx)-2sinxcosx=a，
設(shè)t=sinx+cosx，t∈[-
2
，
2
]，
則2sinxcosx=t2-1，代入
2
2
(sinx+cosx)-2sinxcosx=a，得
2t2-
2
t+2a-2=0，
∴關(guān)于x的方程sin（x+
π
4
）-sin2x=a有實(shí)數(shù)解，
等價(jià)于方程2t2-
2
t+2a-2=0在區(qū)間[-
2
，
2
]上有實(shí)根，
設(shè)函數(shù)f（x）=2t2-
2
tat+2a-2，
①當(dāng)方程2t2-
2
t+2a-2=0在區(qū)間[-
2
，
2
]上有一個(gè)實(shí)根時(shí)，
即f（-
2
）•f（
2
）≤0，
∴[2×(-
2
)2-
2
×(-
2
)+2a-2] [2×(
2
)2-
2
×
2
+2a-2]≤0．
解得：-2≤a≤0；
②當(dāng)方程2t2-
2
t+2a-2=0在區(qū)間[-
2
，
2
]上有2個(gè)實(shí)根時(shí)，
(-
2
)2-8(2a-2)≥0
f(-
2
)=2×(-
2
)2-
2
×(-
2
)+2a-2≥0
f(
2
)=2×(
2
)2-
2
×
2
+2a-2≥0
，
解得：0≤a≤
9
8
．
∴a的取值范圍為[-2，
9
8
]．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角公式、二次方程等知識(shí)，屬于中檔題，考查分類討論思想的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=log2（ax-bx），且f（1）=1，f（2）=log212．
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，求f（x）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

直線3x+4y-5=0與圓2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置關(guān)系是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓C（x-3）2+（y-4）2=1，點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），點(diǎn)P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則d=|PA|2+|PB|2的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線x2-
y2
3
=1的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則
PA1
•
PF2
最小值為（　�。�
A、-2
B、-
81
16
C、1
D、0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若sinα=2cosα，則
.
cosαsinα
sinαcosα
.
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率e=
3
，焦距為2
3
．
（1）求該雙曲線方程．
（2）是否定存在過(guò)點(diǎn)P（1，1）的直線l與該雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出直線l的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=
1
3
x3+
1
2
（a-4）x2+2（2-a）x+a的圖象與y軸的交點(diǎn)和原點(diǎn)的距離小于或等于1．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在這樣的區(qū)間，對(duì)任意的a的可能取值，函數(shù)f（x）在該區(qū)間上都是單調(diào)遞增的？若存在，則求出這樣的區(qū)間，若不存在，則說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下面四個(gè)命題：
①命題“?x∈R，x2-x＞0”的否定是“?x∈R，x2-x≤0”；
②把函數(shù)y=3sin（2x+
π
3
）的圖象向右平移
π
3
個(gè)單位，得到y(tǒng)=3sin2x的圖象；
③正方體的內(nèi)切球與其外接球的表面積之比為1：3；  
④若f（x）=sinxcosx，則存在正實(shí)數(shù)a，使得f（x-a）為奇函數(shù)，f（x+a）為偶函數(shù)．
其中所有正確命題的序號(hào)為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案