Question

已知直線l與函數(shù)f（x）=1n x的圖象相切于點（1，0），且l與函數(shù)g（x）=

1

2

x²+mx+

7

2

（m＜0）圖象也相切．
（1）求直線l的方程及m的值；
（2）若h（x）=f（x+1）-g′（x），求函數(shù)h（x）的最大值；
（3）當(dāng)0＜a＜1時，求證：f（1+a）-f（2）＜

a-1

2

．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意求導(dǎo)f′（x）=

1

x

，從而得到直線l的斜率，從而求直線l的方程，進(jìn)而求m的值；
（2）化簡h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2；求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值；
（3）由（2）知：當(dāng)-1＜x＜0時，h（x）＜2，當(dāng)0＜a＜1時，-1＜

a-1

2

＜0，從而證明．

解答： 解：（1）由題意，f′（x）=

1

x

；
故f′（1）=1，
故直線l的方程為：y-0=x-1；
即x-y-1=0；
由x-y-1=0與y=

1

2

x²+mx+

7

2

聯(lián)立消y可得，
x²+（2m-2）x+9=0，
則△=（2m-2）²-4×9=0；
解得，m=4或m=-2；
又∵m＜0，
∴m=-2．
（2）h（x）=f（x+1）-g′（x）
=ln（x+1）-x+2；
h′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
故h（x）在（-1，0）上是增函數(shù)，在（0，+∞）上是減函數(shù)，
故h_max（x）=h（0）=2；
（3）證明：由（2）知：當(dāng)-1＜x＜0時，h（x）＜2，
即ln（1+x）＜x，
當(dāng)0＜a＜1時，
-1＜

a-1

2

＜0，
∴f（1+a）-f（2）=ln

1+a

2

=ln（1+

a-1

2

）＜

a-1

2

．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的切線的求法，同時考查了函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，屬于中檔題．