Question

19．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+{2}^{x}，x≤0}\\{ax-lnx，x＞0}\end{array}\right.$，在其定義域上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)a的值為$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x+2^x，單調(diào)遞增，由f（-1）f（0）＜0，可得f（x）在（-1，0）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；x＞0時(shí)，f（x）=ax-lnx有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即有a=$\frac{lnx}{x}$有且只有一個(gè)實(shí)根．令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，極值，即可得到a的值．

解答 解：當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x+2^x，單調(diào)遞增，
f（-1）=-1+2^-1＜0，f（0）=1＞0，
由零點(diǎn)存在定理，可得f（x）在（-1，0）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
則由題意可得x＞0時(shí)，f（x）=ax-lnx有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
即有a=$\frac{lnx}{x}$有且只有一個(gè)實(shí)根．
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增．
即有x=e處取得極大值，也為最大值，且為$\frac{1}{e}$，
如圖g（x）的圖象，當(dāng)直線y=a（a＞0）與g（x）的圖象
只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則a=$\frac{1}{e}$．
故答案為：$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，考查函數(shù)的零點(diǎn)存在定理和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，屬于中檔題．