Question

已知函數(shù)f(x)=|1-

1

x

|，x＞0．
（1）當(dāng)0＜a＜b，且f（a）=f（b）時(shí)，求證：ab＞1；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a、b，（a＜b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域是[a，b]，值域是[

1

5

a，

1

5

b]，若存在，則求出a、b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件可得1-

1

a

=-（1-

1

b

），即2=

1

a

+

1

b

，利用基本不等式可得

1

a

1

b

＜1，從而得到ab＞1．
（2）當(dāng)1≤a＜b 時(shí)，可得f(x)=|1-

1

x

|=1-

1

x

在[a，b]上是增函數(shù)，故有 1-

1

a

=

1

5

a，1-

1

b

=

1

5

 b，解出a、b的值．
當(dāng)0＜a＜b≤1時(shí)，可得f(x)=|1-

1

x

|=

1

x

-1 在[a，b]上是減函數(shù)，故有

1

b

-1=

1

5

a，

1

a

-1=

1

5

b，解得a、b 無解．
當(dāng)0＜a＜1＜b時(shí)，函數(shù)y=f（x）在定義域[a，b]上的最小值為0，根據(jù)值域是[

1

5

a，

1

5

b]，解得a、b 無解．

解答：解：（1）證明：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴

1

a

＞

1

b

＞0．
∴1-

1

a

=-（1-

1

b

），∴2=

1

a

+

1

b

＞2

1 ab

，∴

1

a

1

b

＜1，∴ab＞1．
（2）由函數(shù)y=f（x）的定義域是[a，b]，值域是[

1

5

a，

1

5

b]，
當(dāng)1≤a＜b 時(shí)，可得f(x)=|1-

1

x

|=1-

1

x

在[a，b]上是增函數(shù)，故有 1-

1

a

=

1

5

a，1-

1

b

=

1

5

 b，
解得 a=

5- 5

2

，b=

5+ 5

2

．
當(dāng)0＜a＜b≤1時(shí)，可得f(x)=|1-

1

x

|=

1

x

-1 在[a，b]上是減函數(shù)，故有

1

b

-1=

1

5

a，

1

a

-1=

1

5

b，
解得 a=

45 -1

2

，b=

45 -1

2

 （不合題意舍去）．
當(dāng)0＜a＜1＜b時(shí)，函數(shù)y=f（x）在定義域[a，b]上的最小值為0，根據(jù)值域是[

1

5

a，

1

5

b]，
可得

a

5

=0，a=0 （不合題意舍去）．
綜上，存在a=

5- 5

2

，b=

5+ 5

2

滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)的定義域、值域，帶絕對(duì)值的函數(shù)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．