20.已知函數(shù)f(x)=ax4lnx+bx4-c(x＞0)在x=1處取得極值-3-c,其中a,b,c為常數(shù).

(Ⅰ)試確a,b的值;

(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)向;

(Ⅲ)若對(duì)任意x＞0,不等式f(x)≥-2c2恒成立,求x的取值范圍.

解：(Ⅰ)由題意知f(1)= -3-c，因此b-c= -3-c，從而b=-3.

又對(duì)f(x)求導(dǎo)得

f′(x)-4ax3lnx+ax4·+4bx3

=x4(4alnx+a+4b).

由題意f′(1)=0，因此a+4b=0，解得a=12，

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=48x3lnx (x＞0)，令f′(x)=0，解得x=1.

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0，此時(shí)f(x)為減函數(shù)；

當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＞0，此時(shí)f(x)為增函數(shù).

因此f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，+∞).

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，f(x)在x=1處取得極小值f(1)=-3-c，此極小值也是最小值，要使f(x)≥-2c2  (x＞0)恒成立，只需-3-c≥-2c2.

即2c2-c-3≥0，從而(2c-3)(c+1)≥0

解得c≥或c≤-1.

所以c的取值范圍為(+∞，-1]∪[，+∞).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線(xiàn)坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線(xiàn)x-y-1=0是曲線(xiàn)y=f（x）的切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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