Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（2）在（1）的條件下，求證：；

（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）最大值為.

【解析】分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，寫(xiě)出切線(xiàn)方程；

（2）利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，由最小值＞0得結(jié)論；

（3）求出導(dǎo)函數(shù)，其零點(diǎn)為，首先比較與的大小，得出的單調(diào)性，然后再比較大小得出最大值．

詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，

切線(xiàn)方程為.

（2）由（1）知，則，當(dāng)時(shí)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值是，因此.

（3），令，則，當(dāng)時(shí)，設(shè)，

因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增，

且，所以在恒成立，即，

當(dāng)，當(dāng)；所以在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增.所以在上的最大值等于，

因?yàn)?/span>，

設(shè)，所以.

由（2）在恒成立，所以在上單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>，所以在恒成立，即，

因此當(dāng)時(shí)，在上的最大值為.