Question

9．已知$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}^{n+1}}{1-{x}^{n}}$存在，f（x）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}^{n+1}}{1-{x}^{n}}$，則f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈（-1，1）}\\{x，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件先求得f（x）的解析式f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈（-1，1）}\\{-x，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）}\end{array}\right.$，再進(jìn)行分類迭代求得f（f（x））的解析式．

解答 解：因?yàn)?\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}^{n+1}}{1-x^n}$存在，所以x≠±1，
①當(dāng)|x|＜1時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}^{n+1}}{1-x^n}$=$\frac{0}{1-0}$=0；
②當(dāng)|x|＞1時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}^{n+1}}{1-x^n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{x}{\frac{1}{x^n}-1}$=$\frac{x}{0-1}$=-x（極限存在），
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈（-1，1）}\\{-x，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）}\end{array}\right.$，
因此，f（f（x））的解析式需分類討論如下：
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f（f（x））=f（0）=0，
當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時(shí)，f（f（x））=f（-x）=x，
所以，y=f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈（-1，1）}\\{x，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈（-1，1）}\\{x，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了極限的運(yùn)算，以及分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)解析式的求解，屬于中檔題．