Question

19．已知函數(shù)f（x）=2x³-1（x∈R）．
（1）證明：函數(shù)f（x）在（0.5，1）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）求出f（x）在區(qū)間（0.5，1）內(nèi)零點(diǎn)的近似解．（精確到0.1）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=2x³-1在區(qū)間[0.5，1]上連續(xù)，從而利用判定定理判斷；再利用二分法求值

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2x³-1在區(qū)間[0.5，1]上連續(xù)，
且f（1）=2-1=1＞0，f（0.5）=$\frac{1}{4}$-1＜0；
函數(shù)f（x）在（0.5，1）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）由（1）知f（0.5）＜0，又f（1）＞0，所以方程2x³-1=0在（0.5，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)根．
如此繼續(xù)下去，得到方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，如下表：

（a，b）	（a，b） 的中點(diǎn)	f（a）	f（b）
（0.5，1）	0.75	f（0.5）＜0	f（1）＞0	f（0.75）＜0
（0.75，1）	0.875	f（0.75）＜0	f（1）＞0	f（0.875）＞0
（0.75，0.875）	0.8125	f（0.75）＜0	f（0.875）＞0	f（0.8125）＞0

因?yàn)閨0.8125-0.75|=0.0625＜0.1，所以方程2x³-1=0的一個(gè)近似解可取為0.75．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用及二分法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．